Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło √n
  2. BOkoło n / 2
  3. COkoło n
  4. DOkoło log₂ n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co by wynikało, gdyby ktoś znalazł algorytm wielomianowy dla jednego problemu NP-zupełnego?

  1. AWszystkie algorytmy o czasie wykładniczym od razu działałyby w czasie liniowym
  2. BProblem stopu stałby się rozstrzygalny
  3. CKażdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
  4. DTylko ten jeden problem przeszedłby do P
3.Struktury danychŚredni

Drzewa AVL i drzewa czerwono-czarne gwarantują:

  1. AŻe żaden węzeł nie ma dwojga dzieci
  2. BWysokość O(log n) dzięki równoważeniu
  3. CPrzechowywanie kluczy w kolejności wstawiania
  4. DWyszukiwanie w czasie stałym w każdym przypadku
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

  1. AFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
  2. BTe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
  3. CBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu
  4. DUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
14171813611159ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź DF
  8. 8krawędź EF
  9. 9krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

D · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ cała klasa NP redukuje się w czasie wielomianowym do dowolnego problemu NP-zupełnego, szybki algorytm dla jednego daje szybki algorytm dla wszystkich.

Odpowiedź

C · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wysokość O(log n) dzięki równoważeniu

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewa samorównoważące utrzymują wysokość logarytmiczną, więc wyszukiwanie, wstawianie i usuwanie mają w najgorszym przypadku złożoność O(log n).

Odpowiedź

B · Wysokość O(log n) dzięki równoważeniu
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

B · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, B, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź CE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DE (1)
2. EF (5)
3. CE (6)
4. BE (9)
5. AB (14)

numer krawędzi 3

CE

Odpowiedź

krawędź CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms