Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przy monetach 1, 3 i 4 oraz kwocie 6, ile monet używa zachłanna metoda „najpierw największa moneta" w porównaniu z optimum?

  1. AZachłanna używa 2 monet; optimum to 2
  2. BZachłanna używa 4 monet; optimum to 3
  3. CZachłanna używa 3 monet; optimum to 2
  4. DZachłanna używa 3 monet; optimum to 3
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. AStos
  2. BZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  3. CNieposortowana lista wiązana
  4. DTablica mieszająca
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego bazy danych do indeksów często używają B+ drzew zamiast zwykłych B-drzew?

  1. AB+ drzewa przechowują dane tylko w korzeniu
  2. BB+ drzewa nie muszą być zrównoważone
  3. CWszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
  4. DB+ drzewa używają binarnych węzłów wewnętrznych, co zmniejsza liczbę odczytów z dysku
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
181144613161753ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda zachłanna bierze 4 + 1 + 1 = 3 monety, a 3 + 3 to tylko 2, więc dla tego systemu monet metoda zachłanna nie jest optymalna; optymalne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

C · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Θ(n log² n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Poziom k wykonuje około n log(n / 2ᵏ) pracy, a suma po log n poziomach daje Θ(n log² n); to rozszerzony drugi przypadek twierdzenia o rekurencji uniwersalnej.

Odpowiedź

C · Θ(n log² n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

B · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

W B+ drzewie węzły wewnętrzne tylko kierują wyszukiwaniem, a liście są połączone w kolejności kluczy, więc zapytanie o zakres znajduje pierwszy klucz, a potem idzie wzdłuż liści.

Odpowiedź

C · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 33

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

AC (1): weź
GE (3): weź
CE (4): weź
GD (5): weź
DF (6): weź
EF (13): pomiń, zamyka cykl
BC (14): weź

Łączna waga

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 14 = 33

Odpowiedź

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms