Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Algorytm zachłanny:

  1. AZawsze daje rozwiązanie optymalne
  2. BSprawdza każde możliwe rozwiązanie
  3. CUżywa wyłącznie rekurencji
  4. DW każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego algorytm Dijkstry może dawać błędne wyniki, gdy niektóre wagi krawędzi są ujemne?

  1. ADziała tylko na grafach nieskierowanych
  2. BNa każdej ujemnej krawędzi wpada w nieskończoną pętlę
  3. CWierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
  4. DLiczb ujemnych nie można przechowywać w kolejce priorytetowej
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest maksymalny możliwy współczynnik zapełnienia tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym?

  1. ANie ma maksimum
  2. B1
  3. C2
  4. D0,5
4.Struktury danychTrudny

W buforze cyklicznym front == rear może oznaczać bufor pusty albo pełny. Jaki jest popularny sposób ich rozróżnienia?

  1. AUstawienie rozmiaru bufora na potęgę dwójki
  2. BPrzechowywanie front i rear w tej samej zmiennej
  3. CPrzechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
  4. DCzyszczenie bufora za każdym razem, gdy front równa się rear, więc stan jest pusty
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytmy zachłanne są szybkie i dla niektórych problemów optymalne (np. algorytm Dijkstry, kodowanie Huffmana), ale nie w ogólności (np. wydawanie reszty przy niektórych systemach monet).

Odpowiedź

D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę

Dlaczego to jest odpowiedź

Krok zachłanny opiera się na nieujemnych wagach, dzięki którym pobrane odległości są ostateczne; gdy wagi mogą być ujemne, stosuje się Bellmana–Forda.

Odpowiedź

C · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy adresowaniu otwartym wszystkie klucze przechowuje się w samej tablicy, więc n nie może przekroczyć m; przy metodzie łańcuchowej współczynnik może być większy od 1.

Odpowiedź

B · 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy liczniku pusty oznacza count = 0, a pełny count = pojemność; przy jednej wolnej pozycji pełny definiuje się jako (rear + 1) mod n == front.

Odpowiedź

C · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms