Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Złożoność czasowa naiwnego rekurencyjnego obliczania ciągu Fibonacciego (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) jest:

  1. AWykładnicza
  2. BStała
  3. CLogarytmiczna
  4. DLiniowa
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Struktury danychŚredni

Ile węzłów ma doskonałe drzewo binarne o wysokości h, gdy wysokość liczy się w krawędziach?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Struktury danychTrudny

Algorytm Kahna sortowania topologicznego wielokrotnie usuwa wierzchołki o stopniu wejściowym 0. Która struktura przechowuje te wierzchołki?

  1. AKopiec maksymalny uporządkowany według stopnia wyjściowego
  2. BMacierz sąsiedztwa zapisującą, które wierzchołki zostały już usunięte
  3. CKolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0
  4. DStos wszystkich odwiedzonych krawędzi
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
98115716171062ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wykładnicza

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo wywołań rośnie mniej więcej jak φⁿ (około 1,618ⁿ). Memoizacja redukuje złożoność do O(n).

Odpowiedź

A · Wykładnicza
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Θ(n log² n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Poziom k wykonuje około n log(n / 2ᵏ) pracy, a suma po log n poziomach daje Θ(n log² n); to rozszerzony drugi przypadek twierdzenia o rekurencji uniwersalnej.

Odpowiedź

D · Θ(n log² n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · 2h+1 − 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma 1 + 2 + 4 + ... + 2h daje 2h+1 − 1; np. wysokość 2 daje 7 węzłów.

Odpowiedź

A · 2h+1 − 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Kolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0

Dlaczego to jest odpowiedź

Gotowe wierzchołki trzyma się w kolejce; usunięcie jednego obniża stopnie wejściowe jego sąsiadów, a te, które osiągną 0, są dodawane, co daje czas O(V + E).

Odpowiedź

C · Kolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, B, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 34

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (1): weź
GE (2): weź
GD (6): weź
DF (7): weź
AC (8): weź
AB (9): pomiń, zamyka cykl
GC (10): weź

Łączna waga

W = 1 + 2 + 6 + 7 + 8 + 10 = 34

Odpowiedź

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms