Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która technika zapewnia oczekiwany czas działania O(n log n) dla quicksorta na dowolnych danych wejściowych?

  1. AWybieranie zawsze pierwszego elementu
  2. BPosortowanie danych przed uruchomieniem quicksorta
  3. CLosowanie pivota z rozkładem jednostajnym
  4. DStosowanie rekurencji tylko po lewej stronie
3.Struktury danychŚredni

Węzeł binarnego drzewa poszukiwań ma prawe poddrzewo. Gdzie jest jego następnik w porządku inorder?

  1. AW skrajnie prawym węźle jego lewego poddrzewa
  2. BZawsze w jego rodzicu
  3. CW skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
  4. DZawsze w jego prawym dziecku
4.Struktury danychTrudny

Jaką regułę muszą spełniać skrót i równość, by tablica mieszająca działała poprawnie?

  1. ARówne wartości skrótu oznaczają równe klucze
  2. BRówne klucze muszą mieć równe wartości skrótu
  3. CRóżne klucze muszą mieć różne wartości skrótu
  4. DWartości skrótu muszą być liczbami pierwszymi
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 6, liczba krawędzi 16. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 6|E| = 16
k =
6.Teoria grafówTrudny
110124127814213ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy losowym pivocie oczekiwany czas działania wynosi O(n log n) dla każdych danych wejściowych; złe przypadki nadal istnieją, ale są bardzo mało prawdopodobne.

Odpowiedź

C · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie większe klucze bliskie węzłowi są w jego prawym poddrzewie, a najmniejszy z nich to tamtejszy skrajnie lewy węzeł.

Odpowiedź

C · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby dwa równe klucze miały różne skróty, trafiłyby do różnych kubełków i wyszukiwanie by zawodziło; różne klucze mogą jednak mieć ten sam skrót.

Odpowiedź

B · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

6 − 1 = 5

Krawędzie do usunięcia

k = 16 − 5 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 21

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 1, C: 10
B (1): D: 13, G: 9
G (9): D: 11, E: 22
C (10): E: 14
D (11)
E (14): F: 21
F (21)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 21

Odpowiedź

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms