Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest zamortyzowany koszt inkrementacji licznika binarnego, skoro jedna inkrementacja może zmienić wiele bitów?

  1. AO(1) na inkrementację
  2. BO(n) na inkrementację
  3. CO(n log n) na inkrementację
  4. DO(log n) na inkrementację
3.Struktury danychŚredni

Do czego służy węzeł wartownika (sentinel, węzeł pozorny) w liście wiązanej?

  1. APrzechowuje liczbę elementów
  2. BZapobiega wydłużaniu się listy ponad ustaloną maksymalną liczbę węzłów
  3. CUpraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
  4. DSprawia, że lista jest posortowana
4.Struktury danychTrudny

Jaką gwarancję co do wysokości drzewa z n kluczami dają reguły drzewa czerwono-czarnego?

  1. AWysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
  2. BWysokość wynosi co najwyżej log2 n + 1
  3. CWysokość wynosi co najwyżej n / 2
  4. DWysokość wynosi dokładnie log2 n
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
12206811171513ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

D · O(n³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(1) na inkrementację

Dlaczego to jest odpowiedź

W ciągu n inkrementacji bit i zmienia się około n / 2ⁱ razy, więc łącznie jest mniej niż 2n zmian, średnio O(1) na inkrementację.

Odpowiedź

A · O(1) na inkrementację
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzięki wartownikowi każdy rzeczywisty węzeł ma poprzednika, więc wstawianie lub usuwanie na początku nie wymaga specjalnej obsługi.

Odpowiedź

C · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda ścieżka ma tyle samo czarnych węzłów, a czerwone węzły nie mogą sąsiadować, więc najdłuższa ścieżka jest co najwyżej dwa razy dłuższa od najkrótszej, co daje wysokość O(log n).

Odpowiedź

A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź EF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. BD (6)
2. CE (8)
3. DE (11)
4. AC (12)
5. EF (15)

numer krawędzi 5

EF

Odpowiedź

krawędź EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms