Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
  2. BX należy do P, a X redukuje się do SAT
  3. CX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
  4. DX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Jak znaleźć najmniejszy klucz w binarnym drzewie poszukiwań?

  1. AOdwiedzić każdy liść i porównać je
  2. BSprawdzić tylko korzeń
  3. CIść od korzenia do prawych dzieci, aż zabraknie prawego dziecka
  4. DIść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

  1. AWstawianie elementów na dowolnej pozycji
  2. BSortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
  3. CZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
  4. DZnajdowanie mediany w O(1)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
515413411512ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

D · O(V × E)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

D · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka

Dlaczego to jest odpowiedź

W drzewie nie ma klucza mniejszego niż w skrajnie lewym węźle, więc jest on minimum; koszt jest proporcjonalny do wysokości.

Odpowiedź

D · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

C · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 16 = 2(L + 5) − 2
L = 8

Odpowiedź

L = 8

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 18

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): E: 14
B (5): D: 9
D (9): E: 13, F: 20
E (13): F: 18
F (18)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → E → F
d(F) = 18

Odpowiedź

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms