Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czym różni się problem nierozstrzygalny od problemu praktycznie nierozwiązywalnego?

  1. AProblem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
  2. BOba oznaczają, że problem w ogóle nie ma algorytmu
  3. CProblemów praktycznie nierozwiązywalnych nie rozwiąże żaden algorytm, a nierozstrzygalne wymagają tylko czasu wykładniczego
  4. DProblemy nierozstrzygalne należą do NP, a praktycznie nierozwiązywalne do P
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego kopiec binarny można przechowywać w tablicy bez żadnych wskaźników?

  1. ATablice automatycznie utrzymują klucze w kolejności posortowanej, więc wskaźniki nie są potrzebne
  2. BKopce nigdy nie zawierają więcej niż 100 elementów
  3. CJest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
  4. DWszystkie klucze w kopcu są równe
4.Struktury danychTrudny

W buforze cyklicznym front == rear może oznaczać bufor pusty albo pełny. Jaki jest popularny sposób ich rozróżnienia?

  1. APrzechowywanie front i rear w tej samej zmiennej
  2. BCzyszczenie bufora za każdym razem, gdy front równa się rear, więc stan jest pusty
  3. CPrzechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
  4. DUstawienie rozmiaru bufora na potęgę dwójki
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 4, 4× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
7417361619ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Pętla wewnętrzna wykonuje się około log₂ n razy dla każdej z n iteracji zewnętrznych, co daje O(n log n).

Odpowiedź

C · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem stopu nie ma żadnego algorytmu; problem NP-trudny, taki jak TSP, można rozwiązać siłą brutalną, tylko nie w znanym czasie wielomianowym.

Odpowiedź

A · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zupełność oznacza brak luk, więc dzieci indeksu i zawsze znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2.

Odpowiedź

C · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy liczniku pusty oznacza count = 0, a pełny count = pojemność; przy jednej wolnej pozycji pełny definiuje się jako (rear + 1) mod n == front.

Odpowiedź

C · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 22

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Odpowiedź

L = 22

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź CE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. BD (3)
2. AC (4)
3. CE (6)
4. AB (7)

numer krawędzi 3

CE

Odpowiedź

krawędź CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms