Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

AO(E log V)
BO(V × E)
CO(V³ × E)
DO(V + E)

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

AZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
BZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
CWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
DWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych

3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

AIstniejące klucze są sortowane w miejscu
BTylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
CAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
DNajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce

4.Struktury danychTrudny

Usunięcie węzła z dwojgiem dzieci z binarnego drzewa poszukiwań wykonuje się zwykle przez:

AUsunięcie całego poddrzewa
BZbudowanie od nowa poddrzewa poniżej węzła i ponowne wstawienie wszystkich zawartych w nim kluczy
CZamianę go z korzeniem
DZastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

5.Teoria grafówŚredni

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 8

1Cykl Eulera
2Ścieżka Eulera, bez cyklu
3ani jedno, ani drugie

6.Teoria grafówTrudny

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F

d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

B · O(V × E)

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

B · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

Dlaczego to jest odpowiedź

Następnik in-order ma co najwyżej jedno dziecko, więc można go łatwo usunąć po skopiowaniu jego klucza do usuwanego węzła.

Odpowiedź

D · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, G → 2

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 20

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 14, C: 7

C (7): E: 13, G: 18

E (13): F: 20, G: 15

B (14): D: 21

G (15)

F (20)

D (21)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F

d(F) = 20

Odpowiedź

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms