Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
  2. BProblem można rozwiązać w czasie stałym
  3. COptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  4. DProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co by wynikało, gdyby ktoś znalazł algorytm wielomianowy dla jednego problemu NP-zupełnego?

  1. ATylko ten jeden problem przeszedłby do P
  2. BWszystkie algorytmy o czasie wykładniczym od razu działałyby w czasie liniowym
  3. CKażdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
  4. DProblem stopu stałby się rozstrzygalny
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW tablicy dynamicznej
  2. BW liście dwukierunkowej
  3. CW liście jednokierunkowej
  4. DW posortowanej tablicy
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKorzeń musi być czerwony
  2. BKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  3. CKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
  4. DKażdy węzeł musi być czerwony
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 16, liczba krawędzi 16. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 16|E| = 16
k =
6.Teoria grafówTrudny
4133214731475ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 3; sam A to runda 1.

start: Arunda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ cała klasa NP redukuje się w czasie wielomianowym do dowolnego problemu NP-zupełnego, szybki algorytm dla jednego daje szybki algorytm dla wszystkich.

Odpowiedź

C · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

B · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

C · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 1

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

16 − 1 = 15

Krawędzie do usunięcia

k = 16 − 15 = 1

Odpowiedź

k = 1
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 4, C: 13
2. B (4): C: 7, D: 6, G: 11
3. D (6): E: 13, F: 9
4. C (7)
5. F (9)
6. G (11)
7. E (13)

runda 3

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms