Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile mniej więcej porównań potrzebuje wyszukiwanie binarne w najgorszym przypadku w posortowanej tablicy 1,000,000 elementów?

  1. AOkoło 1,000
  2. BOkoło 500,000
  3. COkoło 20
  4. DOkoło 100
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

  1. AWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
  2. BZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
  3. CZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
  4. DWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Struktury danychTrudny

Która struktura danych umożliwia pamięć podręczną LRU (least recently used) z operacjami get i put w O(1)?

  1. AMapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
  2. BWyłącznie stos
  3. CWyłącznie binarne drzewo poszukiwań
  4. DPojedyncza posortowana tablica
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
413131381161111672ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Około 20

Dlaczego to jest odpowiedź

220 ≈ 1,048,576, więc po około 20 połowieniach zostaje tylko jeden element.

Odpowiedź

C · Około 20
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

B · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową

Dlaczego to jest odpowiedź

Mapa mieszająca znajduje węzły w O(1), a lista dwukierunkowa przenosi używane elementy na początek i usuwa elementy z końca w O(1).

Odpowiedź

A · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Wierzchołki nieparzyste

C, F → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 23

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 4, C: 13
B (4): D: 17, G: 15
C (13): E: 21
G (15): E: 17
D (17): F: 23
E (17)
F (23)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 23

Odpowiedź

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms