Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile pamięci stosu zużywa prosta rekurencyjna funkcja silni fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy P jest poprawna?

  1. AProblemy wymagające czasu wykładniczego na każdym komputerze
  2. BProblemy, które można rozwiązać równolegle
  3. CProblemy, których rozwiązania można sprawdzić, ale nigdy nie znaleźć w czasie wielomianowym
  4. DProblemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia postorder?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. AMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
  2. BWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
  3. CNic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  4. DMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
10167201415ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Rekurencja ma głębokość n wywołań, zanim którekolwiek wróci, a każde wywołanie potrzebuje ramki stosu, więc zużywa O(n) pamięci.

Odpowiedź

D · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.

Odpowiedź

D · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 4 5 2 3 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Postorder przetwarza 4 i 5 przed 2, potem 3, a na końcu korzeń 1.

Odpowiedź

B · 4 5 2 3 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BD

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. AC (1)
2. BC (6)
3. BD (7)
4. DE (14)

numer krawędzi 3

BD

Odpowiedź

krawędź BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms