Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przy monetach 1, 3 i 4 oraz kwocie 6, ile monet używa zachłanna metoda „najpierw największa moneta" w porównaniu z optimum?

  1. AZachłanna używa 3 monet; optimum to 3
  2. BZachłanna używa 3 monet; optimum to 2
  3. CZachłanna używa 2 monet; optimum to 2
  4. DZachłanna używa 4 monet; optimum to 3
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Korzystając z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem), rozwiązaniem T(n) = 8T(n/2) + O(n²) jest:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Jak w kolejce cyklicznej przechowywanej w tablicy o pojemności n oblicza się następną pozycję po indeksie i?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.Struktury danychTrudny

Wstawienie klucza do drzewa AVL sprawia, że lewe poddrzewo pewnego węzła staje się zbyt wysokie, a nowy klucz trafił do lewego poddrzewa jego lewego dziecka (przypadek lewo-lewo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. APojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
  2. BRotację w lewo w dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  3. CPrzekolorowanie węzła i jego dziecka
  4. DPojedynczą rotację w lewo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 19, liczba krawędzi 24. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 19|E| = 24
k =
6.Teoria grafówTrudny
311101214121514ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda zachłanna bierze 4 + 1 + 1 = 3 monety, a 3 + 3 to tylko 2, więc dla tego systemu monet metoda zachłanna nie jest optymalna; optymalne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Θ(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

log₂ 8 = 3, a n² rośnie wolniej niż n³, więc dominują liście: Θ(n³).

Odpowiedź

C · Θ(n³)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · (i + 1) mod n

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacja modulo zawija indeks n − 1 z powrotem do 0, więc tablica jest wykorzystywana ponownie bez przesuwania elementów.

Odpowiedź

C · (i + 1) mod n
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

W przypadku lewo-lewo jedna rotacja w prawo podnosi lewe dziecko i przywraca zrównoważenie; przypadki zygzakowate wymagają podwójnej rotacji.

Odpowiedź

A · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

19 − 1 = 18

Krawędzie do usunięcia

k = 24 − 18 = 6

Odpowiedź

k = 6
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 27

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 3, C: 11
B (3): D: 15, E: 17
C (11)
D (15): F: 27
E (17)
F (27)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 27

Odpowiedź

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms