Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Quicksort zawsze używa pierwszego elementu jako elementu osiowego. Dla jakich danych wykazuje zachowanie pesymistyczne?

  1. ADla tablicy, w której wszystkie elementy są różne
  2. BDla tablicy już posortowanej
  3. CDla tablicy w losowej kolejności
  4. DDla tablicy o długości 2
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy P jest poprawna?

  1. AProblemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
  2. BProblemy wymagające czasu wykładniczego na każdym komputerze
  3. CProblemy, które można rozwiązać równolegle
  4. DProblemy, których rozwiązania można sprawdzić, ale nigdy nie znaleźć w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest wartość wyrażenia w notacji postfiksowej 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.Struktury danychTrudny

Do czego służy struktura union-find w algorytmie Kruskala wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego?

  1. ADo wyboru wierzchołka początkowego
  2. BDo sortowania krawędzi według wag
  3. CDo przechowywania bieżącej odległości każdego wierzchołka od źródła w trakcie przeszukiwania
  4. DDo sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Dla tablicy już posortowanej

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla danych posortowanych element osiowy jest zawsze minimum, więc jedna strona jest pusta, a druga ma n − 1 elementów, co daje O(n²).

Odpowiedź

B · Dla tablicy już posortowanej
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.

Odpowiedź

A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · 14

Dlaczego to jest odpowiedź

Odłóż 3 i 4, + daje 7; odłóż 2, * daje 7 × 2 = 14.

Odpowiedź

C · 14
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone

Dlaczego to jest odpowiedź

Find mówi, czy oba końce są w tej samej składowej; jeśli nie, krawędź zostaje dodana, a union łączy składowe.

Odpowiedź

D · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Wierzchołki nieparzyste

E, F → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms