Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. ANajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  2. BMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  3. CPorządek topologiczny w O(V²)
  4. DNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Korzystając z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem), rozwiązaniem T(n) = 8T(n/2) + O(n²) jest:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n² log n)
3.Struktury danychŚredni

Ile czasu zajmuje sprawdzenie, czy istnieje krawędź (u, v), przy użyciu macierzy sąsiedztwa?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest czas działania przeszukiwania wszerz (BFS) w grafie o V wierzchołkach przechowywanym jako macierz sąsiedztwa?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V)
  4. DO(E log V)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 4, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
157115149156ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(D) najkrótszej ścieżki z A do D w grafie ważonym.

start: Akoniec: D
d(D) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

log₂ 8 = 3, a n² rośnie wolniej niż n³, więc dominują liście: Θ(n³).

Odpowiedź

B · Θ(n³)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Element macierzy w wierszu u i kolumnie v od razu mówi, czy krawędź istnieje; przy listach sąsiedztwa może być potrzebne przejrzenie sąsiadów u.

Odpowiedź

A · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z V wierzchołków przegląda wiersz V elementów, co daje O(V²); przy listach sąsiedztwa BFS ma złożoność O(V + E).

Odpowiedź

B · O(V²)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Odpowiedź

L = 8

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(D) = 20

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 15, C: 7
C (7): E: 21
B (15): D: 20
D (20): F: 35
E (21): F: 27
F (27)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D
d(D) = 20

Odpowiedź

d(D) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms