Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An = o(n²), ale n nie jest o(n)
  2. Bn = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
3.Struktury danychŚredni

Co jest prawdą o macierzy sąsiedztwa grafu nieskierowanego?

  1. AJest zawsze górnotrójkątna
  2. BKażdy wiersz ma dokładnie jedną jedynkę
  3. CNa jej głównej przekątnej zawsze są jedynki
  4. DJest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danychTrudny

Które stwierdzenie o sortowaniu przez kopcowanie (heapsort) jest poprawne?

  1. ADziała w czasie O(n) dla każdych danych wejściowych
  2. BWymaga binarnego drzewa poszukiwań jako dodatkowej pamięci, więc zużywa O(n) pamięci dodatkowej
  3. CJest stabilne i wymaga O(n) dodatkowej pamięci
  4. DSortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 4, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 4
L =
6.Teoria grafówTrudny
6312312351014ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem zmniejsza się o połowę w każdym kroku przy stałej pracy na krok, więc kroków jest około log₂ n.

Odpowiedź

B · O(log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Jest symetryczna względem głównej przekątnej

Dlaczego to jest odpowiedź

W grafie nieskierowanym krawędź {u, v} oznacza ustawienie zarówno M[u][v], jak i M[v][u], więc macierz jest równa swojej transpozycji.

Odpowiedź

D · Jest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne

Dlaczego to jest odpowiedź

Heapsort buduje kopiec maksymalny i n razy wyciąga maksimum w obrębie tej samej tablicy; zamiany na duże odległości mogą zmienić kolejność równych kluczy.

Odpowiedź

D · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Odpowiedź

L = 8

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 11

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6, C: 3
C (3): E: 6, G: 13
B (6)
E (6): D: 18, F: 11
F (11): D: 14
G (13)
D (14)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 11

Odpowiedź

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms