Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile mniej więcej porównań potrzebuje wyszukiwanie binarne w najgorszym przypadku w posortowanej tablicy 1,000,000 elementów?

  1. AOkoło 500,000
  2. BOkoło 100
  3. COkoło 20
  4. DOkoło 1,000
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czym różni się problem nierozstrzygalny od problemu praktycznie nierozwiązywalnego?

  1. AOba oznaczają, że problem w ogóle nie ma algorytmu
  2. BProblemy nierozstrzygalne należą do NP, a praktycznie nierozwiązywalne do P
  3. CProblemów praktycznie nierozwiązywalnych nie rozwiąże żaden algorytm, a nierozstrzygalne wymagają tylko czasu wykładniczego
  4. DProblem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
4.Struktury danychTrudny

W BST z korzeniem 50, lewym poddrzewem 30 (dzieci 20, 40) i prawym poddrzewem 70 (dzieci 60, 80) usuwa się korzeń przy użyciu następnika w porządku inorder. Który klucz zostaje nowym korzeniem?

  1. A80
  2. B40
  3. C70
  4. D60
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1512188114ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Około 20

Dlaczego to jest odpowiedź

220 ≈ 1,048,576, więc po około 20 połowieniach zostaje tylko jeden element.

Odpowiedź

C · Około 20
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem stopu nie ma żadnego algorytmu; problem NP-trudny, taki jak TSP, można rozwiązać siłą brutalną, tylko nie w znanym czasie wielomianowym.

Odpowiedź

D · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

B · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · 60

Dlaczego to jest odpowiedź

Skrajnie lewy węzeł prawego poddrzewa to 60, więc 60 zastępuje 50, a jego dawna pozycja zostaje usunięta; użycie poprzednika dałoby 40.

Odpowiedź

D · 60
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 18

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

AC (1): weź
BC (2): weź
BE (4): weź
CE (8): pomiń, zamyka cykl
DE (11): weź

Łączna waga

W = 1 + 2 + 4 + 11 = 18

Odpowiedź

W = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms