Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

  1. AWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
  2. BZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
  3. CWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych
  4. DZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Jak działa extract-min w binarnym kopcu minimalnym?

  1. APrzeszukuje się wszystkie liście w poszukiwaniu nowego minimum
  2. BUsuwa się korzeń i przesuwa wszystkie elementy o jedno miejsce w lewo
  3. CPrzenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
  4. DUsuwa się ostatni element tablicy
4.Struktury danychTrudny

Jaką gwarancję co do wysokości drzewa z n kluczami dają reguły drzewa czerwono-czarnego?

  1. AWysokość wynosi co najwyżej n / 2
  2. BWysokość wynosi dokładnie log2 n
  3. CWysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
  4. DWysokość wynosi co najwyżej log2 n + 1
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
10787133155ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

B · O(V × E)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

D · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół

Dlaczego to jest odpowiedź

Ostatni element wypełnia lukę w korzeniu i jest zamieniany z mniejszym dzieckiem, dopóki nie zostanie spełniona własność kopca, co zajmuje O(log n).

Odpowiedź

C · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda ścieżka ma tyle samo czarnych węzłów, a czerwone węzły nie mogą sąsiadować, więc najdłuższa ścieżka jest co najwyżej dwa razy dłuższa od najkrótszej, co daje wysokość O(log n).

Odpowiedź

C · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): C: 10
2. C (10): E: 18, G: 15
3. G (15): B: 16
4. B (16): D: 23
5. E (18): F: 21
6. F (21)
7. D (23)

runda 5

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms