Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

  1. APojedynczą pętlę
  2. BŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
  3. CWyłącznie losowe dane wejściowe
  4. DNakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  2. BOgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
  3. CSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
  4. D3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.Struktury danychTrudny

Filtr Blooma potrafi odpowiedzieć na pytanie „czy ten element należy do zbioru?”:

  1. AZ możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
  2. BZ możliwymi fałszywie ujemnymi wynikami, ale bez fałszywie dodatnich
  3. CZawsze dokładnie
  4. DTylko dla liczb
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 9, liczba krawędzi 13. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 9|E| = 13
k =
6.Teoria grafówTrudny
516151132109ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

D · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

C · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli którykolwiek bit dla elementu jest równy 0, elementu na pewno nie ma; jeśli wszystkie są równe 1, element prawdopodobnie jest. Filtry Blooma poświęcają dokładność na rzecz bardzo małego zużycia pamięci.

Odpowiedź

A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 5

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

9 − 1 = 8

Krawędzie do usunięcia

k = 13 − 8 = 5

Odpowiedź

k = 5
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 30

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DF (2): weź
DE (3): weź
AB (5): weź
BE (9): weź
EF (10): pomiń, zamyka cykl
CE (11): weź

Łączna waga

W = 2 + 3 + 5 + 9 + 11 = 30

Odpowiedź

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms