Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem jest NP-zupełny, jeśli:

  1. ALeży poza NP, ale jest trudniejszy od wszystkich problemów NP, jak problem stopu
  2. BNależy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
  3. CNie da się go rozwiązać
  4. DDa się go rozwiązać w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia postorder?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D5 4 3 2 1
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. ABinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  2. BKolejka przechowująca każdą parę elementów
  3. CTablica mieszająca wszystkich elementów
  4. DStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej nlog₂ 2 = n dominuje nad stałą pracą, więc T(n) = Θ(n), jak przy szukaniu maksimum przez dzielenie na połowy.

Odpowiedź

D · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Problemy NP-zupełne są najtrudniejsze w NP; wielomianowy algorytm dla jednego z nich dałby wielomianowy algorytm dla całej klasy NP.

Odpowiedź

B · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · 4 5 2 3 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Postorder przetwarza 4 i 5 przed 2, potem 3, a na końcu korzeń 1.

Odpowiedź

C · 4 5 2 3 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

D · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 16

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Odpowiedź

L = 16

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms