Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem stopu pokazuje, że:

  1. AŻaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
  2. BKażdy program w końcu się zatrzymuje
  3. CNiektóre programy działają szybciej na szybszych komputerach, więc zatrzymanie zależy od sprzętu
  4. DNależy unikać pętli
3.Struktury danychŚredni

Drzewo trie (drzewo prefiksowe) jest szczególnie wydajne przy:

  1. APrzechowywaniu macierzy
  2. BSortowaniu liczb
  3. CZnajdowaniu najkrótszych ścieżek
  4. DWyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
4.Struktury danychTrudny

Filtr Blooma potrafi odpowiedzieć na pytanie „czy ten element należy do zbioru?”:

  1. AZ możliwymi fałszywie ujemnymi wynikami, ale bez fałszywie dodatnich
  2. BZawsze dokładnie
  3. CZ możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
  4. DTylko dla liczb
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
2891051220119ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź GD
  9. 9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

D · O(n³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma

Dlaczego to jest odpowiedź

Turing wykazał, że problem stopu jest nierozstrzygalny: założenie, że istnieje rozstrzygający go algorytm, prowadzi do sprzeczności z programem, który robi coś przeciwnego.

Odpowiedź

A · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu

Dlaczego to jest odpowiedź

Trie przechowuje napisy znak po znaku wzdłuż ścieżek, więc wyszukiwanie i zapytania o prefiks zajmują czas proporcjonalny do długości klucza.

Odpowiedź

D · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli którykolwiek bit dla elementu jest równy 0, elementu na pewno nie ma; jeśli wszystkie są równe 1, element prawdopodobnie jest. Filtry Blooma poświęcają dokładność na rzecz bardzo małego zużycia pamięci.

Odpowiedź

C · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BD

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. GD (1)
2. AC (2)
3. DE (5)
4. BC (8)
5. BD (9)
6. DF (12)

numer krawędzi 5

BD

Odpowiedź

krawędź BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms