Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa budowania kopca binarnego z n nieposortowanych elementów metodą wstępującą (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Która metoda rozwiązywania kolizji przechowuje kolidujące klucze w liście w tym samym kubełku?

  1. AHaszowanie podwójne
  2. BSondowanie liniowe
  3. CSondowanie kwadratowe
  4. DŁańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

  1. AZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
  2. BZnajdowanie mediany w O(1)
  3. CSortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
  4. DWstawianie elementów na dowolnej pozycji
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K5? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K5
H =
6.Teoria grafówTrudny
21471531379ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(E) najkrótszej ścieżki z A do E w grafie ważonym.

start: Akoniec: E
d(E) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma kosztów przesiewania w dół (sift-down) po wszystkich poziomach tworzy szereg zbieżny, więc budowa kopca (heapify) działa w czasie liniowym.

Odpowiedź

C · O(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Łańcuchowanie (separate chaining)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łańcuchowanie utrzymuje listę wiązaną (lub inną strukturę) dla każdego kubełka; adresowanie otwarte szuka innego wolnego miejsca w samej tablicy.

Odpowiedź

D · Łańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

A · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Odpowiedź

H = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(E) = 17

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 2
C (2): B: 16, E: 17
B (16): D: 23
E (17): D: 20, F: 24
D (20)
F (24)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E
d(E) = 17

Odpowiedź

d(E) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms