Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dolne ograniczenie dla sortowania opartego na porównaniach w najgorszym przypadku wynosi:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm Strassena mnoży macierze, używając 7 zamiast 8 rekurencyjnych mnożeń bloków o połowie rozmiaru. Jaki jest jego czas działania?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(nlog₂ 7), około n2,81
  4. DΘ(n2)
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa się, by sprawdzić, czy nawiasy w „{[()]}” są zrównoważone?

  1. AStosu
  2. BKolejki
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań
  4. DTablicy mieszającej
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. AO(n)
  2. BDokładnie O(log n)
  3. CO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
  4. DO(n²)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
141591527109142ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(G) najkrótszej ścieżki z A do G w grafie ważonym.

start: Akoniec: G
d(G) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Ω(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde sortowanie przez porównania potrzebuje w najgorszym przypadku co najmniej log₂(n!) ≈ n log n porównań. Sortowanie przez zliczanie (counting sort) omija to ograniczenie, bo nie porównuje elementów.

Odpowiedź

B · Ω(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Θ(nlog₂ 7), około n2,81

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy a = 7 i b = 2 nlog₂ 7 dominuje nad pracą O(n²) na dodawania, co daje około n2,81.

Odpowiedź

C · Θ(nlog₂ 7), około n2,81
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy nawias otwierający odkłada się na stos (push), a przy nawiasie zamykającym zdejmuje (pop); musi pasować do zdjętego nawiasu, a na końcu stos musi być pusty.

Odpowiedź

A · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

C · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(G) = 19

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 14, C: 15
B (14): D: 29, G: 28
C (15): E: 17
E (17): D: 24, F: 26, G: 19
G (19)
D (24)
F (26)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → G
d(G) = 19

Odpowiedź

d(G) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms