Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie topologiczne jest możliwe tylko dla:

  1. AGrafów nieskierowanych
  2. BGrafów pełnych
  3. CGrafów z ujemnymi wagami
  4. DSkierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. AZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  2. BTablica mieszająca
  3. CNieposortowana lista wiązana
  4. DStos
4.Struktury danychTrudny

Co robi drzewo splay po każdym dostępie?

  1. APrzenosi odwiedzony węzeł do liścia
  2. BPrzekolorowuje węzły na ścieżce wyszukiwania
  3. CRotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia
  4. DBuduje całe drzewo od nowa w formie zrównoważonej
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
20131571286319ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Praca sumuje się do około n² / 2; to rekurencja sortowania przez wybieranie lub quicksorta z najgorszym elementem osiowym.

Odpowiedź

B · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Skierowanych grafów acyklicznych

Dlaczego to jest odpowiedź

Porządek topologiczny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf skierowany nie ma cykli; można go znaleźć w czasie O(V + E) za pomocą DFS lub algorytmu Kahna.

Odpowiedź

D · Skierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

A · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Rotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacja splay przenosi odwiedzony węzeł do korzenia za pomocą rotacji; pojedyncza operacja może kosztować O(n), ale koszt zamortyzowany wynosi O(log n).

Odpowiedź

C · Rotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 41

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (3): weź
DF (6): weź
BD (7): weź
DE (8): pomiń, zamyka cykl
CE (12): weź
AC (13): weź

Łączna waga

W = 3 + 6 + 7 + 12 + 13 = 41

Odpowiedź

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms