Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Funkcja wykonuje jedną pętlę n iteracji, a potem osobno drugą pętlę n iteracji. Jaka jest jej złożoność czasowa?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. AObu wariantów
  2. BDyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
  3. CŻadnego z wariantów
  4. DCiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa działający program do śledzenia aktywnych wywołań funkcji i ich zmiennych lokalnych?

  1. AStosu wywołań
  2. BBinarnego drzewa poszukiwań ramek
  3. CTablicy mieszającej funkcji
  4. DKolejki pamięci sterty
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. AO(n)
  2. BDokładnie O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
131531014101015712ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

n + n = 2n, a stałe czynniki się pomija, więc funkcja jest O(n).

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

D · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Stosu wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde wywołanie odkłada ramkę stosu, a każdy powrót ją zdejmuje, dlatego najpóźniejsze wywołanie kończy się jako pierwsze.

Odpowiedź

A · Stosu wywołań
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

D · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Wierzchołki nieparzyste

A, B, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 33

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 13, C: 15
B (13): D: 23, G: 28
C (15): G: 22
G (22)
D (23): E: 37, F: 33
F (33)
E (37)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 33

Odpowiedź

d(F) = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms