Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ATak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
  2. BNie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
  3. CNie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
  4. DTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie przez wstawianie działa w O(n) dla danych posortowanych. Czy to przeczy dolnemu ograniczeniu Ω(n log n) dla sortowania przez porównania?

  1. ATak, ale tylko dla tablic krótszych niż 100
  2. BNie, bo sortowanie przez wstawianie nie jest sortowaniem przez porównania
  3. CTak, więc dolne ograniczenie jest błędne
  4. DNie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa przeszukiwanie w głąb (DFS) w wersji iteracyjnej?

  1. AKopca
  2. BWyłącznie tablicy mieszającej
  3. CStosu
  4. DKolejki
4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

  1. AWstawianie elementów na dowolnej pozycji
  2. BZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
  3. CSortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
  4. DZnajdowanie mediany w O(1)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
81310147204ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

A · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Ograniczenie mówi, że każde sortowanie przez porównania wymaga około n log n porównań dla pewnych danych rozmiaru n; szczególne dane mogą być przetwarzane znacznie szybciej.

Odpowiedź

D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

DFS schodzi jak najgłębiej, naturalnie korzystając ze stosu (lub stosu wywołań rekurencji); BFS używa kolejki.

Odpowiedź

C · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

B · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, C → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź AB

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. BE (4)
2. CE (7)
3. AB (8)
4. BD (14)

numer krawędzi 3

AB

Odpowiedź

krawędź AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms