Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaki jest czas działania sortowania pozycyjnego LSD (radix sort) dla n liczb całkowitych o d cyfrach w systemie o podstawie k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa budowania kopca binarnego z n nieposortowanych elementów metodą wstępującą (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
  2. BO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  3. CO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  4. DO(1), bo indeks jest znany
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
  2. BBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
  3. CBy utrzymać tablicę posortowaną
  4. DBo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
32820181913ABCDE

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka B. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Bk = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(d(n + k))

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z d przebiegów to sortowanie przez zliczanie kosztujące O(n + k), więc dla stałych d i k całość jest liniowa względem n.

Odpowiedź

C · O(d(n + k))
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma kosztów przesiewania w dół (sift-down) po wszystkich poziomach tworzy szereg zbieżny, więc budowa kopca (heapify) działa w czasie liniowym.

Odpowiedź

A · O(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

A · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 19

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

Odpowiedź

L = 19

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. AB (3)
2. AC (2)
3. BE (13)
4. DE (19)

numer krawędzi 3

BE

Odpowiedź

krawędź BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms