Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o wyborze k-tego najmniejszego elementu nieposortowanej tablicy jest poprawne?

  1. AWybór zawsze wymaga Ω(n log n), bo wymaga sortowania
  2. BWybór jest możliwy tylko w O(n²)
  3. CQuickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
  4. DQuickselect działa w O(log n) w najgorszym przypadku, bo schodzi rekurencyjnie tylko po jednej stronie piwota
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW tablicy dynamicznej
  2. BW liście dwukierunkowej
  3. CW liście jednokierunkowej
  4. DW posortowanej tablicy
4.Struktury danychTrudny

Które stwierdzenie o sortowaniu przez kopcowanie (heapsort) jest poprawne?

  1. AJest stabilne i wymaga O(n) dodatkowej pamięci
  2. BSortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
  3. CWymaga binarnego drzewa poszukiwań jako dodatkowej pamięci, więc zużywa O(n) pamięci dodatkowej
  4. DDziała w czasie O(n) dla każdych danych wejściowych
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 15, liczba krawędzi 21. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 15|E| = 21
k =
6.Teoria grafówTrudny
151618207981311312ABCDEFG

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka G. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Gk = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź GB
  9. 9krawędź GC
  10. 10krawędź GD
  11. 11krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

B · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku

Dlaczego to jest odpowiedź

Oczekiwana praca quickselecta to n + n/2 + n/4 + ... = O(n) przy losowych elementach osiowych; wybór elementu osiowego jako mediany median daje liniowy najgorszy przypadek.

Odpowiedź

C · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

B · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne

Dlaczego to jest odpowiedź

Heapsort buduje kopiec maksymalny i n razy wyciąga maksimum w obrębie tej samej tablicy; zamiany na duże odległości mogą zmienić kolejność równych kluczy.

Odpowiedź

B · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 7

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

15 − 1 = 14

Krawędzie do usunięcia

k = 21 − 14 = 7

Odpowiedź

k = 7
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź EF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. GD (3)
2. DE (7)
3. EF (8)
4. GC (11)
5. GB (13)
6. AB (15)

numer krawędzi 3

EF

Odpowiedź

krawędź EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms