Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Która reguła zachłanna w problemie wyboru zajęć zawsze daje maksymalną liczbę nienakładających się zajęć?

  1. AWybierz zajęcie, które zaczyna się najwcześniej
  2. BWybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
  3. CWybierz najpierw najkrótsze zajęcie
  4. DWybierz najpierw zajęcie z najmniejszą liczbą kolizji, a potem powtarzaj dla zgodnych zajęć
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Najkrótsze ścieżki proste można znaleźć w czasie wielomianowym. Co wiadomo o znajdowaniu najdłuższej ścieżki prostej między dwoma wierzchołkami w ogólnym grafie?

  1. AMożna je rozwiązać algorytmem Dijkstry z wagami o przeciwnym znaku
  2. BJest NP-trudne
  3. CJest nierozstrzygalne
  4. DZawsze jest rozwiązywalne w O(V + E)
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. ABinarnego drzewa poszukiwań
  2. BKolejki o stałym rozmiarze
  3. CFunkcji mieszającej
  4. DPrzechodzenia grafu
4.Struktury danychTrudny

Jaką gwarancję co do wysokości drzewa z n kluczami dają reguły drzewa czerwono-czarnego?

  1. AWysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
  2. BWysokość wynosi co najwyżej n / 2
  3. CWysokość wynosi co najwyżej log2 n + 1
  4. DWysokość wynosi dokładnie log2 n
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalność wyboru najwcześniejszego czasu zakończenia można udowodnić argumentem wymiany; dla pozostałych reguł istnieją kontrprzykłady.

Odpowiedź

B · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Jest NP-trudne

Dlaczego to jest odpowiedź

Najdłuższa ścieżka prosta o długości V − 1 to ścieżka Hamiltona, problem NP-zupełny; w acyklicznych grafach skierowanych jest jednak rozwiązywalne w czasie liniowym.

Odpowiedź

B · Jest NP-trudne
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

B · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda ścieżka ma tyle samo czarnych węzłów, a czerwone węzły nie mogą sąsiadować, więc najdłuższa ścieżka jest co najwyżej dwa razy dłuższa od najkrótszej, co daje wysokość O(log n).

Odpowiedź

A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Wierzchołki nieparzyste

B, C, D, F → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 4

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)BB = 1·0 + 3·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 = 4

Odpowiedź

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms