Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. A2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  2. Bn! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  3. Cn! jest O(n²)
  4. DRosną w tym samym tempie
3.Struktury danychŚredni

W binarnym kopcu minimalnym przechowywanym w tablicy (indeksowanie od 0) dzieci węzła o indeksie i znajdują się na pozycjach:

  1. Ai/2 i i/2 + 1
  2. B2i i 2i + 1
  3. Ci + 1 i i + 2
  4. D2i + 1 i 2i + 2
4.Struktury danychTrudny

Która własność sprawia, że każde B-drzewo jest idealnie zrównoważone?

  1. AKażdy węzeł ma dokładnie dwoje dzieci
  2. BWszystkie liście są na tej samej głębokości
  3. CKlucze są przechowywane tylko w korzeniu
  4. DKażdy węzeł przechowuje jeden klucz
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 8, liczba krawędzi 8. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 8|E| = 8
k =
6.Teoria grafówTrudny
152846312ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 2i + 1 i 2i + 2

Dlaczego to jest odpowiedź

W tablicach indeksowanych od 0 lewe dziecko jest pod 2i + 1, prawe pod 2i + 2, a rodzic pod ⌊(i − 1)/2⌋.

Odpowiedź

D · 2i + 1 i 2i + 2
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wszystkie liście są na tej samej głębokości

Dlaczego to jest odpowiedź

Pełne węzły dzielą się w górę, a drzewo staje się wyższe tylko przy podziale korzenia, więc wszystkie liście zawsze pozostają na tym samym poziomie.

Odpowiedź

B · Wszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 1

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

8 − 1 = 7

Krawędzie do usunięcia

k = 8 − 7 = 1

Odpowiedź

k = 1
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź DE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. AC (2)
2. DE (3)
3. BD (4)
4. CE (6)

numer krawędzi 2

DE

Odpowiedź

krawędź DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms