Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. ANajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  2. BPorządek topologiczny w O(V²)
  3. CMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  4. DNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest koszt czasowy i pamięciowy obliczania n-tej liczby Fibonacciego pętlą, która przechowuje tylko dwie ostatnie wartości?

  1. ACzas O(2ⁿ) i pamięć O(1)
  2. BCzas O(n) i pamięć O(1)
  3. CCzas O(log n) i pamięć O(n)
  4. DCzas O(n) i pamięć O(n)
3.Struktury danychŚredni

Ile trwa wyszukiwanie słowa o długości L w drzewie trie ze stałym alfabetem?

  1. AO(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
  2. BO(n), gdzie n to liczba słów
  3. CO(log n), gdzie n to liczba słów
  4. DO(L × n)
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego w tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym usuwanie wykonuje się często za pomocą znacznika „nagrobka” (tombstone)?

  1. AOpróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
  2. BDzięki temu tablica staje się posortowana
  3. CUsunięte klucze muszą być przechowywane na zawsze ze względów bezpieczeństwa, więc miejsc nigdy nie można użyć ponownie
  4. DNagrobki przyspieszają haszowanie
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 14, liczba krawędzi 25. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 14|E| = 25
k =
6.Teoria grafówTrudny
613143121031023ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Czas O(n) i pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy krok wymaga tylko dwóch poprzednich wartości, więc tablicę metody wstępującej można zastąpić dwiema zmiennymi.

Odpowiedź

B · Czas O(n) i pamięć O(1)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy znak wybiera jedno dziecko, więc wyszukiwanie zajmuje L kroków niezależnie od tego, ile słów zawiera trie.

Odpowiedź

A · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby usunięte miejsce stało się puste, późniejsze wyszukiwania mogłyby zatrzymać się za wcześnie i pominąć klucze umieszczone dalej w łańcuchu sondowania.

Odpowiedź

A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

14 − 1 = 13

Krawędzie do usunięcia

k = 25 − 13 = 12

Odpowiedź

k = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 6, C: 13
2. B (6): G: 9
3. G (9): D: 11, E: 12
4. D (11): F: 21
5. E (12)
6. C (13)
7. F (21)

runda 4

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms