Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. ASortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
  2. BProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  3. CSortowanie przez scalanie już jest O(n)
  4. DJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie dotyczące P i NP jest prawdziwe?

  1. AKażdy problem z klasy P należy również do NP
  2. BUdowodniono, że P ≠ NP
  3. CRozwiązań problemów NP nie da się szybko zweryfikować
  4. DNP oznacza „niewielomianowy” (not polynomial)
3.Struktury danychŚredni

Co jest prawdą o macierzy sąsiedztwa grafu nieskierowanego?

  1. ANa jej głównej przekątnej zawsze są jedynki
  2. BJest zawsze górnotrójkątna
  3. CJest symetryczna względem głównej przekątnej
  4. DKażdy wiersz ma dokładnie jedną jedynkę
4.Struktury danychTrudny

W buforze cyklicznym front == rear może oznaczać bufor pusty albo pełny. Jaki jest popularny sposób ich rozróżnienia?

  1. ACzyszczenie bufora za każdym razem, gdy front równa się rear, więc stan jest pusty
  2. BPrzechowywanie front i rear w tej samej zmiennej
  3. CUstawienie rozmiaru bufora na potęgę dwójki
  4. DPrzechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1124815134210ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(C) najkrótszej ścieżki z A do C w grafie ważonym.

start: Akoniec: C
d(C) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Każdy problem z klasy P należy również do NP

Dlaczego to jest odpowiedź

P ⊆ NP: jeśli potrafisz szybko rozwiązać problem, potrafisz też szybko zweryfikować rozwiązanie. Pytanie, czy P = NP, wciąż pozostaje otwarte.

Odpowiedź

A · Każdy problem z klasy P należy również do NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Jest symetryczna względem głównej przekątnej

Dlaczego to jest odpowiedź

W grafie nieskierowanym krawędź {u, v} oznacza ustawienie zarówno M[u][v], jak i M[v][u], więc macierz jest równa swojej transpozycji.

Odpowiedź

C · Jest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy liczniku pusty oznacza count = 0, a pełny count = pojemność; przy jednej wolnej pozycji pełny definiuje się jako (rear + 1) mod n == front.

Odpowiedź

D · Przechowywanie osobnego licznika elementów albo pozostawianie zawsze jednej wolnej pozycji
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, D → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(C) = 5

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 1, C: 12
B (1): C: 5, D: 9, E: 11
C (5)
D (9): F: 13
E (11)
F (13)

Najkrótsza ścieżka

A → B → C
d(C) = 5

Odpowiedź

d(C) = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms