Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaki jest czas działania sortowania pozycyjnego LSD (radix sort) dla n liczb całkowitych o d cyfrach w systemie o podstawie k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego algorytm Dijkstry może dawać błędne wyniki, gdy niektóre wagi krawędzi są ujemne?

  1. ANa każdej ujemnej krawędzi wpada w nieskończoną pętlę
  2. BWierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
  3. CLiczb ujemnych nie można przechowywać w kolejce priorytetowej
  4. DDziała tylko na grafach nieskierowanych
3.Struktury danychŚredni

Do czego służy węzeł wartownika (sentinel, węzeł pozorny) w liście wiązanej?

  1. AUpraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
  2. BPrzechowuje liczbę elementów
  3. CSprawia, że lista jest posortowana
  4. DZapobiega wydłużaniu się listy ponad ustaloną maksymalną liczbę węzłów
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
  2. BKorzeń musi być czerwony
  3. CKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  4. DKażdy węzeł musi być czerwony
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 16, liczba krawędzi 19. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 16|E| = 19
k =
6.Teoria grafówTrudny
195209111748121014ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(d(n + k))

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z d przebiegów to sortowanie przez zliczanie kosztujące O(n + k), więc dla stałych d i k całość jest liniowa względem n.

Odpowiedź

A · O(d(n + k))
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę

Dlaczego to jest odpowiedź

Krok zachłanny opiera się na nieujemnych wagach, dzięki którym pobrane odległości są ostateczne; gdy wagi mogą być ujemne, stosuje się Bellmana–Forda.

Odpowiedź

B · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzięki wartownikowi każdy rzeczywisty węzeł ma poprzednika, więc wstawianie lub usuwanie na początku nie wymaga specjalnej obsługi.

Odpowiedź

A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

16 − 1 = 15

Krawędzie do usunięcia

k = 19 − 15 = 4

Odpowiedź

k = 4
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 49

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (4): weź
AC (5): weź
GB (8): weź
BD (9): weź
GD (10): pomiń, zamyka cykl
CE (11): weź
GC (12): weź

Łączna waga

W = 4 + 5 + 8 + 9 + 11 + 12 = 49

Odpowiedź

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms