Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. A2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  2. Bn! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  3. CRosną w tym samym tempie
  4. Dn! jest O(n²)
3.Struktury danychŚredni

Jak znaleźć najmniejszy klucz w binarnym drzewie poszukiwań?

  1. AIść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
  2. BIść od korzenia do prawych dzieci, aż zabraknie prawego dziecka
  3. COdwiedzić każdy liść i porównać je
  4. DSprawdzić tylko korzeń
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 3 z A do D? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka

Dlaczego to jest odpowiedź

W drzewie nie ma klucza mniejszego niż w skrajnie lewym węźle, więc jest on minimum; koszt jest proporcjonalny do wysokości.

Odpowiedź

A · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

A · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 18

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Odpowiedź

L = 18

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 0·1 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms