Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Sortujesz raz tablicę n elementów, a potem odpowiadasz na k zapytań o przynależność za pomocą wyszukiwania binarnego. Jaki jest łączny koszt?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o wyborze k-tego najmniejszego elementu nieposortowanej tablicy jest poprawne?

  1. AQuickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
  2. BQuickselect działa w O(log n) w najgorszym przypadku, bo schodzi rekurencyjnie tylko po jednej stronie piwota
  3. CWybór jest możliwy tylko w O(n²)
  4. DWybór zawsze wymaga Ω(n log n), bo wymaga sortowania
3.Struktury danychŚredni

Sieć drogowa ma 100 000 skrzyżowań, z których każde łączy się z około 4 innymi. Która reprezentacja jest najodpowiedniejsza?

  1. AKopiec binarny krawędzi
  2. BJedna posortowana tablica wierzchołków
  3. CMacierz sąsiedztwa
  4. DListy sąsiedztwa
4.Struktury danychTrudny

Złożoność czasowa operacji decrease-key w kopcu binarnym (przy znanej pozycji elementu) wynosi:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
61711141612313ABCDEF

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka F. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Fk = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n log n + k log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Sortowanie kosztuje O(n log n), a każde zapytanie O(log n); przy dużym k jest to lepsze niż k przeszukań liniowych (O(nk)).

Odpowiedź

B · O(n log n + k log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku

Dlaczego to jest odpowiedź

Oczekiwana praca quickselecta to n + n/2 + n/4 + ... = O(n) przy losowych elementach osiowych; wybór elementu osiowego jako mediany median daje liniowy najgorszy przypadek.

Odpowiedź

A · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Listy sąsiedztwa

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz wymagałaby 1010 komórek, prawie wszystkich pustych; listy sąsiedztwa przechowują tylko około 400 000 wpisów krawędzi.

Odpowiedź

D · Listy sąsiedztwa
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Po zmniejszeniu klucza element przesuwa się w górę co najwyżej o wysokość kopca. Kopce Fibonacciego osiągają zamortyzowane decrease-key w O(1).

Odpowiedź

D · O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. EF (3)
2. DF (12)
3. BE (13)
4. AB (6)
5. BC (11)

numer krawędzi 3

BE

Odpowiedź

krawędź BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms