Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
  2. BWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  3. CJest nierozstrzygalny
  4. DNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
3.Struktury danychŚredni

Klucze 50, 30, 70, 20, 40 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego drzewa poszukiwań. Co jest lewym dzieckiem 30?

  1. A70
  2. B40
  3. C50
  4. D20
4.Struktury danychTrudny

Wstawienie klucza do drzewa AVL sprawia, że lewe poddrzewo pewnego węzła staje się zbyt wysokie, a nowy klucz trafił do lewego poddrzewa jego lewego dziecka (przypadek lewo-lewo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. APojedynczą rotację w lewo w niezrównoważonym węźle
  2. BRotację w lewo w dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  3. CPojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
  4. DPrzekolorowanie węzła i jego dziecka
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
5911369415ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 3; sam A to runda 1.

start: Arunda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

D · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

A · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 20

Dlaczego to jest odpowiedź

20 jest mniejsze od 50 i mniejsze od 30, więc zostaje lewym dzieckiem 30; 40 zostaje jego prawym dzieckiem.

Odpowiedź

D · 20
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

W przypadku lewo-lewo jedna rotacja w prawo podnosi lewe dziecko i przywraca zrównoważenie; przypadki zygzakowate wymagają podwójnej rotacji.

Odpowiedź

C · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: C

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 5, C: 9
2. B (5): C: 6, E: 20
3. C (6): E: 19
4. E (19): D: 25, F: 23
5. F (23)
6. D (25)

runda 3

C

Odpowiedź

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms