Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa standardowego algorytmu programowania dynamicznego dla najdłuższego wspólnego podciągu napisów o długościach m i n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
  2. BX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
  3. CX należy do P, a X redukuje się do SAT
  4. DX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
3.Struktury danychŚredni

Którego abstrakcyjnego typu danych używa algorytm Dijkstry do wyboru następnego wierzchołka do przetworzenia?

  1. AKolejki priorytetowej typu min
  2. BZbioru bez uporządkowania
  3. CKolejki FIFO
  4. DStosu
4.Struktury danychTrudny

Algorytm Kahna sortowania topologicznego wielokrotnie usuwa wierzchołki o stopniu wejściowym 0. Która struktura przechowuje te wierzchołki?

  1. AKolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0
  2. BKopiec maksymalny uporządkowany według stopnia wyjściowego
  3. CStos wszystkich odwiedzonych krawędzi
  4. DMacierz sąsiedztwa zapisującą, które wierzchołki zostały już usunięte
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 15, liczba krawędzi 18. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 15|E| = 18
k =
6.Teoria grafówTrudny
16181851017ABCDE

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka A. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Ak = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(mn)

Dlaczego to jest odpowiedź

Tablica ma (m + 1)(n + 1) komórek, a każda jest obliczana w O(1) z sąsiednich.

Odpowiedź

D · O(mn)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

A · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kolejki priorytetowej typu min

Dlaczego to jest odpowiedź

Kolejka priorytetowa typu min, zwykle kopiec binarny, wydajnie zwraca nieodwiedzony wierzchołek o najmniejszej odległości.

Odpowiedź

A · Kolejki priorytetowej typu min
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0

Dlaczego to jest odpowiedź

Gotowe wierzchołki trzyma się w kolejce; usunięcie jednego obniża stopnie wejściowe jego sąsiadów, a te, które osiągną 0, są dodawane, co daje czas O(V + E).

Odpowiedź

A · Kolejka (lub dowolna kolekcja) wierzchołków o stopniu wejściowym 0
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

15 − 1 = 14

Krawędzie do usunięcia

k = 18 − 14 = 4

Odpowiedź

k = 4
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź CE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. AB (16)
2. BC (1)
3. CE (5)
4. BD (8)

numer krawędzi 3

CE

Odpowiedź

krawędź CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms