Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Sortujesz raz tablicę n elementów, a potem odpowiadasz na k zapytań o przynależność za pomocą wyszukiwania binarnego. Jaki jest łączny koszt?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co by wynikało, gdyby ktoś znalazł algorytm wielomianowy dla jednego problemu NP-zupełnego?

  1. AWszystkie algorytmy o czasie wykładniczym od razu działałyby w czasie liniowym
  2. BProblem stopu stałby się rozstrzygalny
  3. CTylko ten jeden problem przeszedłby do P
  4. DKażdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danychŚredni

Ile czasu zajmuje sprawdzenie, czy istnieje krawędź (u, v), przy użyciu macierzy sąsiedztwa?

  1. AO(V)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(E)
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. AO(n²)
  2. BO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
  3. CO(n)
  4. DDokładnie O(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 34 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
1311678314110ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n log n + k log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Sortowanie kosztuje O(n log n), a każde zapytanie O(log n); przy dużym k jest to lepsze niż k przeszukań liniowych (O(nk)).

Odpowiedź

B · O(n log n + k log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ cała klasa NP redukuje się w czasie wielomianowym do dowolnego problemu NP-zupełnego, szybki algorytm dla jednego daje szybki algorytm dla wszystkich.

Odpowiedź

D · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Element macierzy w wierszu u i kolumnie v od razu mówi, czy krawędź istnieje; przy listach sąsiedztwa może być potrzebne przejrzenie sąsiadów u.

Odpowiedź

C · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

B · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 20

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 38 = 2(L + 10) − 2
L = 20

Odpowiedź

L = 20

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 38

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

GC (1): weź
EF (3): weź
BD (6): weź
CE (7): weź
DF (8): weź
GD (10): pomiń, zamyka cykl
BC (11): pomiń, zamyka cykl
AC (13): weź

Łączna waga

W = 1 + 3 + 6 + 7 + 8 + 13 = 38

Odpowiedź

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms