Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

  1. ANakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
  2. BWyłącznie losowe dane wejściowe
  3. CŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
  4. DPojedynczą pętlę
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest czas działania algorytmu Dijkstry z kopcem binarnym dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³)
3.Struktury danychŚredni

Drzewo trie (drzewo prefiksowe) jest szczególnie wydajne przy:

  1. ASortowaniu liczb
  2. BWyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
  3. CPrzechowywaniu macierzy
  4. DZnajdowaniu najkrótszych ścieżek
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego B-drzewa są używane w bazach danych i systemach plików?

  1. APrzechowują dane nieposortowane
  2. BNie wymagają równoważenia
  3. CDuży stopień rozgałęzienia utrzymuje drzewo płytkim, ograniczając wolne odczyty z dysku
  4. DZajmują mniej pamięci niż jakakolwiek tablica, więc cały indeks zawsze mieści się w pamięci głównej
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
115812217154ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

A · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O((V + E) log V)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest V operacji pobrania minimum i do E operacji zmniejszenia klucza, każda O(log V); kopiec Fibonacciego poprawia to do O(E + V log V).

Odpowiedź

A · O((V + E) log V)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu

Dlaczego to jest odpowiedź

Trie przechowuje napisy znak po znaku wzdłuż ścieżek, więc wyszukiwanie i zapytania o prefiks zajmują czas proporcjonalny do długości klucza.

Odpowiedź

B · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Duży stopień rozgałęzienia utrzymuje drzewo płytkim, ograniczając wolne odczyty z dysku

Dlaczego to jest odpowiedź

B-drzewa przechowują wiele kluczy w węźle, więc wysokość jest mała i na jedno wyszukiwanie potrzeba niewielu odczytów bloków; B+ drzewa dodatkowo łączą liście na potrzeby skanowania zakresów.

Odpowiedź

C · Duży stopień rozgałęzienia utrzymuje drzewo płytkim, ograniczając wolne odczyty z dysku
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 1, C: 15
2. B (1): C: 9, D: 13, G: 16
3. C (9): E: 11
4. E (11): F: 18
5. D (13): F: 14
6. F (14)
7. G (16)

runda 5

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms