Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. AMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  2. BNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
  3. CNajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  4. DPorządek topologiczny w O(V²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy P jest poprawna?

  1. AProblemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
  2. BProblemy wymagające czasu wykładniczego na każdym komputerze
  3. CProblemy, których rozwiązania można sprawdzić, ale nigdy nie znaleźć w czasie wielomianowym
  4. DProblemy, które można rozwiązać równolegle
3.Struktury danychŚredni

Do czego służy węzeł wartownika (sentinel, węzeł pozorny) w liście wiązanej?

  1. APrzechowuje liczbę elementów
  2. BZapobiega wydłużaniu się listy ponad ustaloną maksymalną liczbę węzłów
  3. CUpraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
  4. DSprawia, że lista jest posortowana
4.Struktury danychTrudny

Jaką regułę muszą spełniać skrót i równość, by tablica mieszająca działała poprawnie?

  1. ARówne klucze muszą mieć równe wartości skrótu
  2. BWartości skrótu muszą być liczbami pierwszymi
  3. CRówne wartości skrótu oznaczają równe klucze
  4. DRóżne klucze muszą mieć różne wartości skrótu
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 5, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
11151582210ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.

Odpowiedź

A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzięki wartownikowi każdy rzeczywisty węzeł ma poprzednika, więc wstawianie lub usuwanie na początku nie wymaga specjalnej obsługi.

Odpowiedź

C · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby dwa równe klucze miały różne skróty, trafiłyby do różnych kubełków i wyszukiwanie by zawodziło; różne klucze mogą jednak mieć ten sam skrót.

Odpowiedź

A · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Odpowiedź

L = 11

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: F

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 11, C: 15
2. B (11): C: 12, E: 21
3. C (12): E: 17
4. E (17): D: 25, F: 19
5. F (19): D: 21
6. D (21)

runda 5

F

Odpowiedź

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms