Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AOptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  2. BProblem można rozwiązać w czasie stałym
  3. CProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
  4. DKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która technika zapewnia oczekiwany czas działania O(n log n) dla quicksorta na dowolnych danych wejściowych?

  1. AStosowanie rekurencji tylko po lewej stronie
  2. BWybieranie zawsze pierwszego elementu
  3. CPosortowanie danych przed uruchomieniem quicksorta
  4. DLosowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danychŚredni

Która metoda rozwiązywania kolizji przechowuje kolidujące klucze w liście w tym samym kubełku?

  1. AHaszowanie podwójne
  2. BSondowanie liniowe
  3. CŁańcuchowanie (separate chaining)
  4. DSondowanie kwadratowe
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest czas działania przeszukiwania wszerz (BFS) w grafie o V wierzchołkach przechowywanym jako macierz sąsiedztwa?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
81520181716511143ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

A · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy losowym pivocie oczekiwany czas działania wynosi O(n log n) dla każdych danych wejściowych; złe przypadki nadal istnieją, ale są bardzo mało prawdopodobne.

Odpowiedź

D · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Łańcuchowanie (separate chaining)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łańcuchowanie utrzymuje listę wiązaną (lub inną strukturę) dla każdego kubełka; adresowanie otwarte szuka innego wolnego miejsca w samej tablicy.

Odpowiedź

C · Łańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z V wierzchołków przegląda wiersz V elementów, co daje O(V²); przy listach sąsiedztwa BFS ma złożoność O(V + E).

Odpowiedź

C · O(V²)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 57

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

GE (3): weź
GB (5): weź
AB (8): weź
GC (11): weź
GD (14): weź
AC (15): pomiń, zamyka cykl
DF (16): weź

Łączna waga

W = 3 + 5 + 8 + 11 + 14 + 16 = 57

Odpowiedź

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms