Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Funkcja wykonuje jedną pętlę n iteracji, a potem osobno drugą pętlę n iteracji. Jaka jest jej złożoność czasowa?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.Struktury danychŚredni

Ile węzłów ma doskonałe drzewo binarne o wysokości h, gdy wysokość liczy się w krawędziach?

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Struktury danychTrudny

Jaką gwarancję co do wysokości drzewa z n kluczami dają reguły drzewa czerwono-czarnego?

  1. AWysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
  2. BWysokość wynosi dokładnie log2 n
  3. CWysokość wynosi co najwyżej log2 n + 1
  4. DWysokość wynosi co najwyżej n / 2
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
861013121520ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

n + n = 2n, a stałe czynniki się pomija, więc funkcja jest O(n).

Odpowiedź

B · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łącznie n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, a liczba harmoniczna Hn to Θ(log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 2h+1 − 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma 1 + 2 + 4 + ... + 2h daje 2h+1 − 1; np. wysokość 2 daje 7 węzłów.

Odpowiedź

B · 2h+1 − 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda ścieżka ma tyle samo czarnych węzłów, a czerwone węzły nie mogą sąsiadować, więc najdłuższa ścieżka jest co najwyżej dwa razy dłuższa od najkrótszej, co daje wysokość O(log n).

Odpowiedź

A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź AB

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. AC (6)
2. AB (8)
3. CE (12)
4. BD (13)

numer krawędzi 2

AB

Odpowiedź

krawędź AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms