Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przy monetach 1, 3 i 4 oraz kwocie 6, ile monet używa zachłanna metoda „najpierw największa moneta" w porównaniu z optimum?

  1. AZachłanna używa 2 monet; optimum to 2
  2. BZachłanna używa 3 monet; optimum to 2
  3. CZachłanna używa 3 monet; optimum to 3
  4. DZachłanna używa 4 monet; optimum to 3
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Korzystając z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem), rozwiązaniem T(n) = 8T(n/2) + O(n²) jest:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest pesymistyczna wysokość binarnego drzewa poszukiwań z n węzłami, jeśli klucze są wstawiane w kolejności posortowanej?

  1. Alog₂ n
  2. Bn (drzewo staje się listą wiązaną)
  3. C1
  4. D√n
4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

  1. AWstawianie elementów na dowolnej pozycji
  2. BZnajdowanie mediany w O(1)
  3. CZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
  4. DSortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
387714413811ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(E) najkrótszej ścieżki z A do E w grafie ważonym.

start: Akoniec: E
d(E) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda zachłanna bierze 4 + 1 + 1 = 3 monety, a 3 + 3 to tylko 2, więc dla tego systemu monet metoda zachłanna nie jest optymalna; optymalne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Θ(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

log₂ 8 = 3, a n² rośnie wolniej niż n³, więc dominują liście: Θ(n³).

Odpowiedź

D · Θ(n³)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · n (drzewo staje się listą wiązaną)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wstawianie posortowanych kluczy tworzy zdegenerowane drzewo o wysokości n, przez co wyszukiwanie ma złożoność O(n). Drzewa zrównoważone temu zapobiegają.

Odpowiedź

B · n (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

C · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(E) = 24

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): D: 10
C (8): G: 16
D (10): E: 24, F: 14
F (14)
G (16)
E (24)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → E
d(E) = 24

Odpowiedź

d(E) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms