Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm programowania dynamicznego Helda–Karpa rozwiązuje dokładnie problem komiwojażera. Jaki jest jego czas działania dla n miast?

  1. AO(n³)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(2n²)
3.Struktury danychŚredni

Przejście in-order (poprzeczne) binarnego drzewa poszukiwań odwiedza klucze w kolejności:

  1. ARosnącej (posortowanej)
  2. BPoziomami
  3. CZawsze malejącej
  4. DWstawiania
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. APrzechowuje klucze bez uporządkowania
  2. BGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  3. COczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  4. DNie zużywa dodatkowej pamięci
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 4× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów o długości 2 z C do B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem zmniejsza się o połowę w każdym kroku przy stałej pracy na krok, więc kroków jest około log₂ n.

Odpowiedź

D · O(log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n² 2ⁿ)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest około n 2ⁿ stanów, każdy obliczany w O(n); to czas wykładniczy, ale znacznie szybszy niż sprawdzanie wszystkich (n − 1)! tras.

Odpowiedź

C · O(n² 2ⁿ)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Rosnącej (posortowanej)

Dlaczego to jest odpowiedź

Odwiedzenie lewego poddrzewa, potem węzła, a potem prawego poddrzewa wypisuje klucze BST w kolejności posortowanej.

Odpowiedź

A · Rosnącej (posortowanej)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 24

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 44 = 2(L + 11) − 2
L = 24

Odpowiedź

L = 24

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)CB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms