Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for j = 1 to i: wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która technika zapewnia oczekiwany czas działania O(n log n) dla quicksorta na dowolnych danych wejściowych?

  1. AWybieranie zawsze pierwszego elementu
  2. BStosowanie rekurencji tylko po lewej stronie
  3. CLosowanie pivota z rozkładem jednostajnym
  4. DPosortowanie danych przed uruchomieniem quicksorta
3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

  1. AIstniejące klucze są sortowane w miejscu
  2. BAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
  3. CTylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
  4. DNajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CDokładnie O(log n)
  4. DO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
16132471181110ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź DF
  8. 8krawędź EF
  9. 9krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wnętrze pętli wewnętrznej wykonuje się łącznie n(n + 1) / 2 razy, co nadal jest kwadratowe.

Odpowiedź

C · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy losowym pivocie oczekiwany czas działania wynosi O(n log n) dla każdych danych wejściowych; złe przypadki nadal istnieją, ale są bardzo mało prawdopodobne.

Odpowiedź

C · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

B · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

D · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 10

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Odpowiedź

L = 10

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BD

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DE (1)
2. BC (2)
3. BD (4)
4. EF (11)
5. AC (13)

numer krawędzi 3

BD

Odpowiedź

krawędź BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms