Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Mnożenie Karacuby spełnia T(n) = 3T(n/2) + O(n). Jakie jest rozwiązanie?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3), około n1,585
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Jak znaleźć najmniejszy klucz w binarnym drzewie poszukiwań?

  1. AIść od korzenia do prawych dzieci, aż zabraknie prawego dziecka
  2. BIść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
  3. COdwiedzić każdy liść i porównać je
  4. DSprawdzić tylko korzeń
4.Struktury danychTrudny

Która para przejść zawsze jednoznacznie wyznacza drzewo binarne o różnych kluczach?

  1. APreorder i postorder
  2. BPreorder i inorder
  3. CSam preorder
  4. DSamo przejście poziomami
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
15111281311510ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

C · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej dominują liście, co pokonuje szkolną metodę O(n²).

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka

Dlaczego to jest odpowiedź

W drzewie nie ma klucza mniejszego niż w skrajnie lewym węźle, więc jest on minimum; koszt jest proporcjonalny do wysokości.

Odpowiedź

B · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Preorder i inorder

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder daje korzeń, a jego pozycja w ciągu inorder rozdziela lewe i prawe poddrzewo; preorder z postorder jest niejednoznaczne, gdy węzeł ma jedno dziecko.

Odpowiedź

B · Preorder i inorder
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 38

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 15, C: 11
C (11): E: 24
B (15): D: 23
D (23): F: 38
E (24)
F (38)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 38

Odpowiedź

d(F) = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms