Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. APorządek topologiczny w O(V²)
  2. BNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
  3. CNajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  4. DMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  2. BNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  3. CJest nierozstrzygalny
  4. DWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danychŚredni

Gdzie w kopcu binarnym przechowywanym w tablicy od indeksu 0 znajduje się rodzic węzła o indeksie i?

  1. APod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BPod indeksem 2i + 1
  3. CPod indeksem i − 1
  4. DPod indeksem ⌊i / 2⌋ + 1
4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

  1. AKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
  2. BPosortowana tablica wszystkich n wartości
  3. CKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
  4. DKolejka FIFO ostatnich k wartości
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 17, liczba krawędzi 19. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 17|E| = 19
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów o długości 3 z A do E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzieci i znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2, więc rodzic i jest pod ⌊(i − 1) / 2⌋; przy indeksowaniu od 1 jest to ⌊i / 2⌋.

Odpowiedź

A · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

A · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

17 − 1 = 16

Krawędzie do usunięcia

k = 19 − 16 = 3

Odpowiedź

k = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)AE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms