Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. ASortowanie przez scalanie już jest O(n)
  2. BProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  3. CJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
  4. DSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. AObu wariantów
  2. BDyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
  3. CŻadnego z wariantów
  4. DCiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. AStos
  2. BTablica mieszająca
  3. CZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  4. DNieposortowana lista wiązana
4.Struktury danychTrudny

Jaką regułę muszą spełniać skrót i równość, by tablica mieszająca działała poprawnie?

  1. ARówne klucze muszą mieć równe wartości skrótu
  2. BRówne wartości skrótu oznaczają równe klucze
  3. CRóżne klucze muszą mieć różne wartości skrótu
  4. DWartości skrótu muszą być liczbami pierwszymi
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
211715181994ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

D · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby dwa równe klucze miały różne skróty, trafiłyby do różnych kubełków i wyszukiwanie by zawodziło; różne klucze mogą jednak mieć ten sam skrót.

Odpowiedź

A · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 37

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

AB (2): weź
BE (4): weź
BC (7): weź
EF (9): weź
AC (11): pomiń, zamyka cykl
BD (15): weź

Łączna waga

W = 2 + 4 + 7 + 9 + 15 = 37

Odpowiedź

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms