Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. AMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  2. BPorządek topologiczny w O(V²)
  3. CNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
  4. DNajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego wyszukiwanie binarne nie daje czasu O(log n) na liście jednokierunkowej?

  1. ADotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
  2. BWyszukiwanie binarne wymaga co najmniej dwa razy więcej pamięci
  3. CList nie da się posortować
  4. DPorównania na węzłach listy są wolniejsze
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest maksymalny możliwy współczynnik zapełnienia tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym?

  1. A0,5
  2. B1
  3. CNie ma maksimum
  4. D2
4.Struktury danychTrudny

Która struktura danych umożliwia pamięć podręczną LRU (least recently used) z operacjami get i put w O(1)?

  1. APojedyncza posortowana tablica
  2. BMapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
  3. CWyłącznie binarne drzewo poszukiwań
  4. DWyłącznie stos
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
7195151586ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

C · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyszukiwanie binarne wymaga dostępu O(1) do środka; na liście dojście tam kosztuje czas liniowy, więc całość to O(n).

Odpowiedź

A · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy adresowaniu otwartym wszystkie klucze przechowuje się w samej tablicy, więc n nie może przekroczyć m; przy metodzie łańcuchowej współczynnik może być większy od 1.

Odpowiedź

B · 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową

Dlaczego to jest odpowiedź

Mapa mieszająca znajduje węzły w O(1), a lista dwukierunkowa przenosi używane elementy na początek i usuwa elementy z końca w O(1).

Odpowiedź

B · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, G → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 7, C: 1
2. C (1): E: 16
3. B (7): D: 12, E: 13
4. D (12)
5. E (13): F: 21
6. F (21)

runda 5

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms