Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dyskretny problem plecakowy (0/1) rozwiązany programowaniem dynamicznym zajmuje czas O(nW). Dlaczego nazywa się to złożonością pseudowielomianową?

  1. AW jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
  2. BPonieważ działa tylko dla W = 0
  3. CPonieważ algorytm jest randomizowany, a jego czas działania zmienia się przy każdych danych
  4. DPonieważ n jest zawsze małe
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. APrzechodzenia grafu
  2. BKolejki o stałym rozmiarze
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań
  4. DFunkcji mieszającej
4.Struktury danychTrudny

Ile trwa wyszukanie dowolnego klucza w binarnym kopcu minimalnym o n elementach?

  1. AO(log log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
2142914111210ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

B · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W

Dlaczego to jest odpowiedź

Czas działania jest wielomianowy względem wartości W, ale wykładniczy względem jej długości (log W bitów); dyskretny problem plecakowy jest NP-zupełny.

Odpowiedź

A · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

B · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiec nie daje reguły, które poddrzewo zawiera klucz, więc w najgorszym przypadku trzeba sprawdzić wszystkie węzły; szybko można znaleźć tylko minimum.

Odpowiedź

B · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 22

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 2, C: 14
B (2): C: 4, D: 11, E: 12
C (4)
D (11): F: 22
E (12)
F (22)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 22

Odpowiedź

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms